フーリエ級数に関する問題
はじめに
フーリエ解析を勉強していたら(個人的に)面白い問題を見つけたのでアウトプットとしてここに書き残しておくことにした.
問題
は
上の周期
の奇関数で,
上では
と定義されている.
このとき,
\begin{align*}
f(\theta) = \frac{8}{\pi} \sum_{n \ : odd+} \frac{\sin n\theta}{n^3}
\end{align*}
を示せ. (odd+は正の奇数)
解答
まず, このままの関数を用いてしまうと明らかに偶関数になってしまうから, では
と定義する.
こうすることにより, は
上で,
\begin{align*}
f(\theta) = \theta(\pi - |\theta|)
\end{align*}
と表すことができる. この
が奇関数であることを確かめよう.
\begin{align*}
f(-\theta) &= -\theta(\pi - |-\theta|) \\
&= -\theta(\pi - |\theta|) \\
&= -f(\theta)
\end{align*}
がいえたから,
は奇関数である.
ではのフーリエ係数を求めていく.
\begin{align*}
\hat{f}(n) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\theta(\pi-|\theta|)e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta - \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\theta|\theta| e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta - \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\theta(-\theta) e^{-in\theta} d\theta -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta\cdot\theta e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\theta^2 e^{-in\theta} d\theta -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta + \frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{0}(-\theta)^2 e^{-in(-\theta)} d(-\theta) -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 e^{in\theta} d\theta -\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 (e^{in\theta}-e^{-in\theta}) d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 \cdot 2i\sin n\theta \ d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta} d\theta + \frac{i}{\pi}\int_{0}^{\pi}\theta^2 \sin n\theta \ d\theta \\
\end{align*}
第一項, 第二項はそれぞれ部分積分を行えば簡単に求められる. (の場合分けに注意)
結果を記すと,
\begin{align*}
\hat{f}(n) =
\left \{
\begin{array}{}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 & (n = 0) \\
\displaystyle \frac{2i}{\pi n^3}((-1)^n - 1) & (n \neq 0)
\end{array}
\right.
\end{align*}
となる. このとき,
\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)| &= \sum_{n \neq 0} \left| \frac{2i}{\pi n^3}((-1)^n - 1) \right| \\
&= \frac{2}{\pi}\sum_{n \neq 0} \left| \frac{1}{n^3}((-1)^n - 1) \right| \\
&= \frac{2}{\pi}\sum_{n \neq 0}\frac{2}{|n|^3}\\
&= \frac{8}{\pi}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\\
&< \infty
\end{align*}
したがってのフーリエ級数は
に一様収束する.
では最後にフーリエ級数を具体的に求めよう.
\begin{align*}
f(\theta) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)e^{in\theta} \\
&= \sum_{n\neq 0} \frac{2i}{\pi n^3}((-1)^n - 1)e^{in\theta} \\
&= \sum_{n\ : odd} \frac{2i}{\pi n^3}(-2)e^{in\theta} \\
&= \frac{-4i}{\pi}\sum_{n\ : odd} \frac{1}{n^3}e^{in\theta} \\
&= \frac{-4i}{\pi}\left(\sum_{n\ : odd+} \frac{1}{n^3}e^{in\theta} + \sum_{n\ : odd-} \frac{1}{n^3}e^{in\theta} \right) \\
&= \frac{-4i}{\pi}\left(\sum_{n\ : odd+} \frac{1}{n^3}e^{in\theta} + \sum_{n\ : odd+} \frac{1}{(-n)^3}e^{i(-n)\theta} \right) \\
&= \frac{-4i}{\pi}\left(\sum_{n\ : odd+} \frac{1}{n^3}(e^{in\theta} - e^{-in\theta}) \right) \\
&= \frac{-4i}{\pi}\sum_{n\ : odd+} \frac{1}{n^3} 2i\sin n\theta \\
&= \frac{8}{\pi} \sum_{n \ : odd+} \frac{\sin n\theta}{n^3} \\
\end{align*}
これで証明は完了した.
研究
今求めたフーリエ級数にを代入すると,
\begin{align*}
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)^3} =1 -\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}
\end{align*}
を得ることができる.
さいごに
これ以外にも面白い問題はたくさんあったので, 時間があればまたここに記していきたい.
とくにバーゼル問題に関するものは近々取り組んでいくようにしたい.
あと, これは深夜に書いたものなので間違っているがあるかもしれない. その場合はコメントにてお知らせいただけるとありがたい.
